为什么我们学习数学这么痛苦？那些数学家、数学大师是怎么理解数学的？最近读了《数学觉醒，学会更清晰的思考》[1]。它告诉我们，我们一直被各种抽象定义和形式逻辑非人折磨，而真正的高手——笛卡尔、格罗滕迪克、瑟斯顿这些顶级数学家——其实都是用直觉思考数学，不是用教科书上的逻辑推理。这套在高手之间流行、又没法写下来传给别人的思维，叫做「秘密数学」。

这本书的作者是戴维·贝西（David Bessis）。他是科班出身的数学家，早年在巴黎西岱大学拿了数学博士，做几何群论。毕业后先后在耶鲁大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学校做研究，覆盖代数、几何和拓扑。2008 年前后他离开学术界，办了一家人工智能公司。

他为什么说应该用直觉、而不是逻辑去学数学？往下看。

一条直线能和圆相交于三个点吗

你会觉得答案不是显而易见吗？你已经在脑海里用直觉画出一个圆和一条直线，怎么摆都交不到三个点。这种东西叫「心理图像」，是一种直觉思维。

可如果有人说他看不出来、不知道，你该怎么办？于是数学家为了表达准确，把它写成一条定理：「平面上，一条直线与一个圆至多交于两点。」再配一套几何证明，再配一套代数证明：解二次方程，看根的个数。

如果我们按课本上的定理和证明来学，立刻头痛。而这正是课堂上要求的「正确方法」。我们真正擅长、真正觉得快乐的直觉，被老师和课本带得越用越少，好像那才是错的。高手其实没按教科书学。他们悄悄在整个学习过程里，把这些显而易见的心理图像一层一层攒下来。

高斯的故事，老师教错了

上学时都听过高斯的故事。老师让全班同学算 1 到 100 的整数之和，想换片刻清净。他没想到，其中一个孩子几秒钟就算出来了。

老师后来讲这个故事，通常会说：快是因为有个「窍门」。把

上下相加永远是 101，一共 100 列，所以 100 × 101 = 10100。我们要的是一半，5050。

这方法确实快，算奇淫技巧。可老师这么教，传出去的是一个毒瘤：学数学就是去死记硬背各种技巧。

如果改用直觉，这件事该变成一张心理图像，根本不用记。把每一个数想成一列正方形：第一列 1 个，第二列 2 个，一直到最后一列 100 个。

看不见摸不着的计算，一下子变成我们熟悉的三角形面积：底 100 × 高 100 / 2 = 5000。还不够，再加上阴影那一块——100 个正方形的一半，也就是 50。5000 + 50 = 5050。直觉一旦建起来，不用记任何技巧，这是理所当然的。

数学为什么看起来这么复杂

直觉既然这么简单，为什么要把数学搞得这么复杂？上面的演示很简单。更复杂的场景，需要更复杂的心理图形。对知道的人，显而易见；对不知道的人，难如登天。文字又不够用，所以必须发明一套抽象定义和证明方法，用来沟通。

就像打电话教人系鞋带。会的人觉得，这不右手就行吗？不会的人，你又不能演示，只能写字或者隔着电话讲。那非常难。所以你得发明一套语言，让另一端的人按这套语言，在自己脑子里重建心理图像，学会系鞋带。

学数学，其实就是根据定义，把各种概念重新建成心理图像，变成直觉。

怎么建立感知

怎么用直觉来学数学？这首先是一种观念，不只用于数学，适用于所有领域。我更愿意叫它感知思维。

作者说自己一开始不擅长代数，建不起心理图像。后来他不是靠眼睛看，而是用身体去感受，能在脖子、脊柱和脊髓里感到这些数学。从那以后他打通了，数学创造力完全不是一个量级。

我也是这种感觉。能构建心理图谱的数学和物理，我很擅长。高中以后就越来越难。没人带我用感知慢慢想、慢慢建立对概念的感觉，只剩去死记解题技巧。兴趣就是这么丢掉的。

作者的方法是：找到那些不符合直觉的地方，让逻辑和直觉对话，把那个必须靠逻辑硬过的坎，变成一种显而易见的直觉。这才叫理解。

我们其实一直在干这件事。复数，-100，几百年前的数学家觉得负数很荒谬。现在你看一眼信用卡账单，就懂了。

感知才是人类该有的思考方式

佛陀、王阳明、乔布斯这种满级人类，都非常擅长感知思维。佛陀把心当成一台观察仪器，看身体、感受、念头和欲望正在怎么变。王阳明向内体察良知。乔布斯最看重产品品味，品味也是一种感知。

这是一个越来越强调理性、强调逻辑、回避个人感受和良知的时代。这条路很可能是错的。逻辑和理性应该属于机器、属于 AI。符合人类本性的思维方式从来不是逻辑思考，而是感知思维：感知别人的感受，感知自己的身体，感知自己的念头和情绪。这才是人类该有的思考方式，也是人类获得大智慧的方式。

注释

[1] 英文名是 Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity，可以译成《数学：直觉与好奇心的秘密世界》。